《小学算数教什幺,怎幺教》

  2020-06-10 点击量: 442 点赞404

《小学算数教什幺,怎幺教》
图片来源:unsplash,CC0 Licensed.

文:赖以威/ 数学作家、译者,作品散见于联合报、未来少年、国语日报,与各家网路媒体。师大附中,台大电机毕业。

我深信数学大师约翰•冯•诺伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。为了让各位跟我一样相信这句话,我们得先从数学有多简单来说起,聊聊数学,也用数学说故事。

「国小数学不外乎加减乘除,能设计出什幺有趣的活动吗?」

约莫2年前,我开始规划「动手做」的数学实验课,请教几位国中老师,他们建议我从国小着手,一方面国中课业压力大,一方面国中生对数学的好恶相对定型,不如从小学做起。

开头的那句话,就是我听完建议后的第一反应。

当时我认为越深奥的数学,越能展现出有趣、特殊的应用,例如用微分方程表示男女的恋爱关係,用机率求找到理想情人的可能性。小学数学的基础运算、多边形、单位、时间、分数、小数,说得好听点是「少数买菜会用上的数学」,但换个角度,好像还真只有买菜这类单调普通的生活应用。

2年后回首,只觉得以前见识真浅。国小数学虽然简单,却是「大巧不工」,如同作者阿哈罗尼教授讲起他重新走入小学的心得。

我学习到的很大一部分并非新的事实,而是全然不同的东西,也就是那些细微的层次。这有点像欣赏一片布料,远观好似平顺均匀,但是拿到眼前就会察觉是由精细交织的线所构成︰我原先当成是一体的概念,却是由精细的观念编织出来的。

我对这段话感同深受。

§ 相似概念的细微差异

举个切身的例子,我以前觉得比就是两个数字中间加个「:」,比值的另一种表示法。百分比、最简单整数比大同小异,考试注意不要写错就好。

当我为了教小学生,强迫自己思考它们的差异时,才体会到原来,比是从生活中找到的2组数字,最简单整数比是为了看出那些「比」相等,比值、百分比,引用本书说法是「比的共同语言」。以电视萤幕为例,走进3C卖场,挑一台萤幕量它的长与宽,你会得到两个数字,建立出一个比,以40吋萤幕来说,这个比约是34.9:19.6(吋,四捨五入到小数点下第一位),如果是50吋就是43.6:24.5。不同大小的萤幕有不同的比,看似不一样,但当它们都化简成最简单整数比——16:9,你就知道所有萤幕的长宽比相同。

如果旁边有一台传统的4:3萤幕,你想知道哪种萤幕比较宽,就要进一步用比值:

4/3<16/9

原来每一种「比」都有不一样的意义与用途(我相信许多国小国中老师深知这点,在此请允许我野人献曝一下)。然而,在(至少我)过去学习的历程中,我们比较不常强调这个细微的差异,比较多着重在「如何从比化简成最简单整数比,求比值、或表示成百分比。」

概念之间机械性的连结固然重要,却不是唯一重要的事。

§ 串联理解不同的知识

本书的作者阿哈罗尼教授与译者李国伟老师都是非常杰出的数学家,对数学的了解相当深刻,不仅釐清了小学许多相似数学概念的差异,还能跨越不同概念,解释它们的共同之处。我对一段「单位与分数」的类比印象深刻:

3根香蕉与4颗柳橙共多少?

有些大人(包括老师)认为单位不同,无法相加。但若是退一步用「水果」这个单位涵盖香蕉跟柳橙,把问题变成3个水果与4个水果共多少?

答案无庸置疑是7。再来看分数的加法

1/2+1/3

大家都清楚第一步是通分,找公分母。对照水果的例子,你会发现两者有着一样的逻辑。我们可以把分母看成一个「单位」,1/2和1/3的分母不同,表示单位不一样,通分相当于退一步,让它们变成同样的单位,就像前面用水果来取代香蕉跟柳橙。有了公分母6,便能轻易完成加法

1/2+1/3=3/6+2/5=5/6

§ 学数学不费力,反而省力

我很希望小学生能在数学课中感受到数学的秩序、推广、以及简洁表示法,作者将这3点命名为「数学的3种省力法」。多数人觉得学数学很吃力,事实上恰好相反,数学的一个目的是为了帮助我们省力。高斯发现1加到100这100个数字中,1+100=101,2+99=101,3+98=101,一共是50组101,答案是50×101=5050。

这就是秩序,或有时候称作规律。不妨把这个问题想得更完整一点,今天一位摊贩去果菜批发市场(你可以跟北农连结在一起,如果你觉得这样会更时事一点),一个中盘商摆了100堆苹果,第1堆有1个,第2堆有2个…依此类推,摊贩想知道总共有几个,评估是否要全部收购。根据摊贩的数学程度,会发生以下3种状况:

连加法都不会。只能将100堆苹果看做1堆,扳着手指慢慢数。数2颗需要1秒,预计得花上42分钟。

会加法,但无法观察出两项相加是101的规律,得一项项慢慢加,平均1次加法花3秒,他得用掉4分57秒。至少快了8倍多。

会加法,且能观察秩序。50×101=5050,全程花不到10秒。比第一种快了约250倍。

这就是数学省时省力的威力,也是目前强调的数学素养的一个面向:不只会解题,还能找到有效率的解题方法。

如果学生能感受到数学的巧妙与用处后,相信会更愿意学习数学,也更知道该如何运用数学,再更多地方寻找秩序建立方法、将建立的方法推广到不同的应用、并且运用简洁的表示法。

§

书中还讲了好几种实用的教学技巧,例如:用具体的例子传达抽象概念

一节课应该经历三阶段:从具体出发,画图,最后走向抽象

不跳过精确的命名,清晰定义概念,概念必须通过学童亲身经验才能产生

让你一读完就能实践。如果你反覆仔细阅读好几次,更能体会作者所说的小学数学虽然不深奥,但包含智慧;虽然不複杂,却有深意。

很感谢李国伟老师引进、亲自翻译本书,让国人有机会从大师的角度,重新认识小学数学。也希望我们真能如老师在译者序提到的(注),

开创书面作业以外的动手实作或身体活动,帮助学生体会出生活周遭处处可发现数学的蹤迹。

我深信,当一位小朋友走到哪里,就像对他熟悉的玩具角色一样,能看见生活周遭的数学蹤迹(萤幕长宽比、时间的六十进位制、买蛋糕时呎吋跟实际大小的关係),那他的数学一定不会差到哪里去,不,应该是一定会很棒。

注:小小的预告,《小学算术教什幺,怎幺教》(天下文化)是给大人看的小学数学,马上来临的暑假,我与金鼎奖作家王文华老师将合作推出一套给小学生看的《数感小学冒险》系列(亲子天下),也敬请期待噢。

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《小学算术教什幺,怎幺教》

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